林冲的父亲在小说《水浒传》中的身份存在一些不同的说法：

禁军提辖：

林冲的父亲是东京的提辖官，这是一个较为普遍的认识。提辖官在宋代是军队中的一种职务，负责训练和管理士兵。

县官：

林冲的父亲也是一位县官，这表明他的家庭背景相对较好，家境殷实。

禁军教头：

虽然林冲本人是八十万禁军的教头，但并没有直接证据表明他的父亲也是教头。

综合以上信息，林冲的父亲最有可能是 禁军提辖或 县官。由于林冲在东京（现河南开封）生活，并且他的父亲在军队中担任职务，因此禁军提辖这一身份更为合适。

建议：在没有更多确凿证据的情况下，可以认为林冲的父亲是禁军提辖。